BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan salah satu ilmu dasar yang sangat penting diajarkan kepada siswa. Matematika juga merupakan sarana berpikir ilmiah yang sangat diperlukan oleh siswa untuk mengembangkan kemampuan logisnya. Dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), matematika memegang peranan penting karena dalam pembelajaran matematika dituntut untuk berpikir kritis dan teliti untuk mengelola informasi, memecahkan suatu persoalan/permasalahan sehingga berguna baik dalam kehidupan sehari-hari serta sebagai bahasa atau sebagai pengembangan sains dan teknologi. Seperti yang diungkapkan Hudojo (1988) bahwa: “Matematika memegang peranan penting, karena dengan bantuan matematika semua ilmu pengetahuan lebih sempurna. Matematika merupakan alat yang efesien dan diperlukan oleh semua ilmu pengetahuan dan tanpa bantuan matematika semuannya tidak mendapat kemajuan yang berarti.
Selama ini pembelajaran matematika terkesan kurang menyentuh kepada substansi pemecahan masalah. Siswa cenderung menghafalkan konsep-konsep matematika sehingga kemampuan siswa dalam memecahkan masalah sangat kurang. Seperti diungkapkan oleh Lilis Widianti (http://newspaper.pikiran-rakyat.com):
“Selama ini pembelajaran matematika terkesan kurang menyentuh kepada substansi pemecahan masalah Kebanyakan mengajarkan prosedur atau langkah pengerjaan soal. Bahkan, siswa cenderung menghafalkan konsep-konsep matematika dan sering dengan mengulang-ulang menyebutkan definisi yang diberikan guru atau yang tertulis dalam buku yang dipelajari, tanpa memahami maksud isinya. Kecenderungan semacam ini tentu saja dapat dikatakan mengabaikan kebermaknaan dari konsep-konsep matematika yang dipelajari siswa, sehingga kemampuan siswa dalam memecahkan masalah sangat kurang”.
Pada umumnya di sekolah-sekolah sering dijumpai siswa-siswa yang tidak tertarik belajar matematika. Hal ini terjadi karena pada kenyataannya dalam pelaksanaan pembelajaran matematika, metode pembelajaran yang ditetapkan masih konvensional yaitu masih terpusat pada guru. Hal yang sama seperti dikemukakan oleh Erman Suherman (http://educare.e-fkipunla.net):
“Konon dalam pelaksanaan pembelajaran matematika sekarang ini pada umumnya guru masih menggunakan metode konvensional yaitu guru masih mendominasi kelas, siswa pasif (datang, duduk, nonton, berlatih, …., dan lupa). Guru memberitahukan konsep, siswa menerima bahan jadi. Demikian juga dalam latihan, dari tahun ke tahun soal yang diberikan adalah soal-soal yang itu-itu juga dan tidak bervariasi. Untuk mengikuti pembelajaran di sekolah, kebanyakan siswa tidak siap terlebih dahulu dengan membaca bahan yang akan dipelajari, siswa datang tanpa bekal pengetahuan seperti membawa wadah kosong.
Berdasarkan keterangan dari guru matematika SMA Negeri 9 Medan, salah satu pokok bahasan yang disajikan di kelas XI SMA adalah pokok bahasan lingkaran, yang mana sering terjadi kesalahan yang dilakukan oleh siswa terutama pada saat mengerjakan soal-soal penerapan seperti berikut ini:
1. Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah dari 0 sampai 2 �� maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran.Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
2. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik dari titik (7, –1).
Dari contoh di atas banyak siswa sulit untuk menyelesaikan soal penerapan lingkaran, sehingga yang terjadi langkah awalnya tidak mengerti dan selanjutnya tidak mampu mengerjakan. Selain itu kesulitan yang sering terjadi, siswa sulit untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dan panjang garis singgung persekutuan dalam. Penyebab kesalahan ini adalah siswa kurang memahami prinsip, konsep, apa yang ditanyakan dan siswa sering kurang teliti.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka saya tertarik untuk membuat makalah dengan judul : “Kesulitan Siswa Belajar Matematika Pada Pokok Bahasan Lingkaran di kelas XI SMA”.
1.2 Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, beberapa masalah dapat diidentifikasikan sebagai berikut:
· Rendahnya prestasi belajar matematika siswa.
· Peran serta siswa dalam melakukan aktifitas belajar di kelas masih kurang
· Kesu;itan siswa dalam belajar matematika
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah dan identifikasi masalah diatas serta mengingat masalah tersebut harus dipecahkan, maka obsevasi ini dibatasi hanya untuk mengetahui kesulitan siswa kelas XI SMA pada pokok bahasan lingkaran, dan menganalisis penyebab kesulitan siswa kelas XI SMA pada pokok bahasan lingkaran melalui mewawancarai guru bidang studi matematika
1.4 Rumusan Masalah
Berdasarkan batasan masalah di atas, maka yang menjadi fokus permasalahan dalam makalah ini dirumuskan sebagai berikut :
1. Apa sajakah kesulitan yang dialami siswa dalam belajar matematika, khususnya pada pokok bahasan “lingkaran”?
2. Apakah penyebab dari kesulitan siswa dalam belajar matematika, khususnya pada pokok bahasan “lingkaran”?
3.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Belajar dan Pembelajaran Matematika
Belajar menurut Slameto (2003 ): “Suatu proses usaha yang dilakukan seseorang untuk memperoleh perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalamannya sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya”. Selanjutnya Makmun (2005) mengungkapkan bahwa belajar adalah: “Suatu proses perubahan perilaku atau pribadi seseorang berdasarkan pengalaman tertentu”.
Soedjadi (2006) mengungkapkan bahwa: “Pembelajaran matematika adalah kegiatan pendidikan yang menggunakan matematika sebagai kendaraan untuk mencapai tujuan yang ditetapkan”. Masykur dan Fathani (2007) mengatakan: “Dalam proses belajar matematika juga terjadi proses berpikir, sebab seseorang dikatakan berpikir apabila orang itu melakukan kegiatan mental, dan orang yang belajar matematika mesti melakukan kegiatan mental”.
Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa pembelajaran adalah sebagai suatu bentuk formal kegiatan guru berupa pengkomunikasian (penyampaian) ilmu dan penciptaan situasi belajar (rekayasa) bagi siswa dalam proses pembelajaran agar proses berpikir siswa meningkat sehingga siswa termotivasi untuk belajar dengan baik. Seseorang dikatakan belajar matematika jika terjadi perubahan tingkah laku, mencakup pengetahuan tentang matematika, keterampilan dalam matematika, sikap terhadap matematika yang relatif menetap sebagai akibat latihan dan pengalaman.
2.2 Pengertian Kesulitan Belajar
Kesulitan belajar merupakan terjemahan dari istilah bahasa Inggris learning disability. Terjemahan tersebut sesungguhnya kurang tepat karena learning artinya belajar dan disabiliti artinya ketidakmampuan; sehingga terjemahan yang benar seharusnya adalah ketidakmampuan belajar.
Kesulitan belajar adalah suatu keadaan yang menyebabkan siswa tidak dapat belajar sebagaimana mestinya (Dalyono, 1997 : 229).
Definisi lain tentang kesulitan belajar yaitu kesukaran siswa dalam menerima atau menyerap pelajaran di sekolah. (Sabri, 1995 : 88)
Menurut Burton, siswa diduga mengalami kesulitan belajar, apabila siswa tidak dapat mencapai ukuran tingkat keberhasilan belajar dalam waktu tertentu, siswa tidak dapat mewujudkan tugas-tugas perkembangan dan tidak dapat mencapai tingkat penguasaan materi. (Makmun, 1996 : 207)
Dari beberapa definisi di atas menunjukkan bahwa siswa yang mengalami kesulitan belajar, akan sukar dalam menyerap materi-materi pelajaran yang di sampaikan oleh guru sehingga ia akan malas dalam belajar, serta tidak dapat menguasai materi, menghindari pelajaran, mengabaikan tugas-tugas yang diberikan guru, penurunan nilai belajar dan prestasi belajar rendah.
2.3 Faktor-faktor Kesulitan Belajar
Faktor yang dapat menyebabkan kesulitan belajar di sekolah itu banyak dan beragam. Apabila dikaitkan dengan faktor-faktor yang berperan dalam belajar, penyebab kesulitan belajar tersebut dapat kita kelompokkan menjadi dua bagian besar, yaitu faktor yang berasal dari dalam diri siswa (faktor internal) dan faktor yang berasal dari luar diri siswa (faktor eksternal).
Adapun faktor-faktor penyebab kesulitan belajar itu, dapat dikelompokkan sebagai berikut:
A. Faktor internal, yang meliputi:
1. Faktor fisiologi
2. Faktor psikologi
B. Faktor eksternal, yang meliputi:
1. Faktor orang tua
2. Faktor sekolah
3. Faktor media masa dan lingkungan sosial
Berikut ini akan diuraikan tentang faktor-faktor penyebab kesulitan belajar, baik faktor internal maupun faktor eksternal.
A. Faktor internal
1) Faktor Fisiologi
Seorang anak yang sakit atau kurang sehat akan mengalami kelemahan fisik, sehingga saraf sensorik dan motoriknya lemah akibatnya rangsangan yang diterima melalui indranya tidak dapat diteruskan ke otak. Anak yang kurang sehat akan mengalami kesulitan belajar, sebab ia mudah lelah, pusing, mengantuk,daya konsentrasinya berkurang dan kurang bersemangat dalam belajar.
Ahmad Thanthowi (1991 : 106) mengatakan: “Karena sakit-sakitan, maka menjadi sering meninggalkan sekolah. Demikian juga dalam upaya belajar di rumah frekuensi belajar dapat menjadi menurun. Maka badan yang sehat dan segar amat berpengaruh bagi tercapainya sukses belajar.”
Wasty Soemanto, mengatakan bahwa: “Orang yang belajar membutuhkan kondisi badan yang sehat. Orang yang badanya sakit akibat penyakit-penyakit tertentu serta kelelahan tidak akan dapat belajar dengan efektif. Cacat fisik juga mengganggu hal belajar.” (Soemanto, 1990 : 121)
Gangguan serta cacat mental pada seseorang juga sangat mengganggu hal belajar orang yang bersangkutan. Bagaimana orang dapat belajar dengan baik apabila ia sakit ingatan, sedih, frustrasi atau putus asa.”
Bila seorang anak mengalami sakit yang lama, maka sarafnya akan bertambah lemah, sehingga ia tidak dapat mengikuti pelajaran untuk beberapa hari dan pelajarannya pun tertinggal. Selain itu cacat tubuh pun dapat menyebabkan seorang anak mengalami kesulitan belajar.
2) Faktor Psikologi
Belajar memerlukan kesiapan rohani dan kesiapan mental yang baik, dan yang termasuk dalam faktor psikologi adalah:
a. Inteligensi
Menurut David Wechsler, Intelegensi adalah:Kemampuan individu untuk berfikir dan bertindak secara terarah, serta mengolah dan menguasai lingkungan secara efektif (Sarwono, 1991 : 71).
Faktor ini besar sekali pengaruhnya terhadap kemajuan belajar anak. Bila intelegensi seseorang memang rendah dan ia tidak mendapat bantuan dari pendidik dan orang tuanya, maka usaha dan jerih payahnya dalam belajar akan memperoleh hasil yang kurang baik atau mungkin tidak akan berhasil.
b. Bakat
Bakat adalah potensi atau kecakapan dasar yang dibawa sejak lahir (Ahmadi, 1991 : 78).
Setiap individu memiliki bakat yang berbeda-beda dan seseorang akan mempelajari sesuatu sesuai dengan bakat yang dimilikinya. Apabila seorang anak mempelajari suatu bidang studi yang bertentangan dengan bakatnya, maka ia akan merasa bosan dan cepat putus asa.
c. Minat
Seorang anak yang tidak memiliki minat terhadap suatu pelajaran akan menimbulkan kesulitan belajar. Minat yang timbul dari kebutuhan belajar siswa, akan menjadi pendorong dalam melaksanakan belajar.
“Ada tiga komponen yang harus dimiliki anak, agar dirinya dapat melakukan kegiatan proses belajar yaitu: Minat, Perhatian, Motivasi”. (Surya, 2003 : 6)
d. Motivasi
Motivasi memegang peranan penting dalam proses belajar. ’Motivasi berfungsi menimbulkan, mendasari dan mengarahkan perbuatan belajar’ (Ahmadi, 1991 : 79).
Seseorang yang motivasinya lemah tampak acuh tak acuh terhadap pelajaran, mudah putus asa, perhatiannya tidak tertuju pada pelajaran dan sering meninggalkan pelajaran yang mengakibatkan kesulitan dalam belajar.
B. Faktor Eksternal
1) Faktor orang tua
Keluarga merupakan pusat pendidikan utama dan pertama, tetapi dapat juga sebagai faktor penyebab kesulitan belajar. Dalam hal ini orang tua memiliki peranan penting dalam rangka mendidik anaknya,karena pandangan hidup, sifat dan tabiat seorang anak, sebagian besar berasal dari kedua orang tuanya.
“Tugas utama keluarga dalam pendidikan anak ialah sebagai peletak dasar bagi pendidikan akhlak dan pandangan hidup keagamaan. Sifat dan tabi’at anak sebagian besar diambil dari kedua orang tuanya dan dari anggota keluarga lain.” (Hasbullah, 1996 : 89)
Yang termasuk faktor ini antara lain adalah:
a. Bimbingan dan didikan orang tua
Orang tua yang tidak tahu atau kurang memperhatikan kemajuan belajar anak-anaknya akan menjadi penyebab kesulitan belajar anak-anak memerlukan bimbingan orang tua agar bersikap dewasa dan tanggung jawab belajar tumbuh pada diri anak. Orang tua yang bekerja dapat mengakibatkan anak tidak memperoleh bimbingan atau pengawasan dari orang tuanya, sehingga anak akan mengalami kesulitan belajar.
b. Hubungan orang tua dan anak
Faktor ini penting sekali dalam menentukan kemajuan belajar anak. Kasih sayang dari orang tua menimbulkan mental yang sehat bagi anak. Kurangnya kasih sayang akan menimbulkan emosional insecurity. Seorang anak akan mengalami kesulitan belajar apabila tidak ada atau kurangnya kasih sayang dari orang tua.
c. Suasana rumah atau keluarga
Suasana rumah yang sangat ramai atau gaduh, mengakibatkan anak tidak dapat belajar dengan baik. Anak akan selalu terganggu konsentrasinya, sehingga sukar belajar.
d. Keadaan ekonomi keluarga
Keadaan ekonomi digolongkan dalam:
- Ekonomi yang kurang atau miskin keadaan ini akan menimbulkan kurangnya alat-alat belajar, kurangnya biaya dan anak tidak mempunyai tempat belajar yang baik. Ketiga hal tersebut akan menjadi penghambat bagi anak untuk dapat belajar dengan baik dan hal tersebut juga dapat menghambat kemajuan belajar anak.
- Ekonomi yang berlebihan (kaya). Keadaan ini sebaiknya dari keadaan yang pertama, yaitu ekonomi keluarga yang melimpah ruah. Mereka akan menjadi malas belajar karena ia terlalu banyak bersenang-senang mungkin orang tua tidak tahan melihat anaknya belajar dengan bersusah payah keadaan seperti ini akan dapat menghambat kemajuan belajar.
2) Faktor sekolah
Yang dimaksud dengan faktor sekolah antara lain adalah:
a. Guru
Guru dapat menjadi penyebab kesulitan belajar apabila guru tidak memenuhi syarat sebagai seorang pendidik, contohnya: hubungan guru kurang baik dengan siswa dan guru menuntut standar pelajaran di atas kemampuan anak. Seorang guru dituntut harus dapat mengelola komponen-komponen yang terkait dalam mendidik para siswa.
“Dalam komponen- komponen yang berpengaruh terhadap hasil belajar, komponen guru lebih menentukan karena ia akan mengelola komponen lainnya sehingga dapat meningkatkan hasil proses belajar mengajar.” (Ladjid, 2005 : 114)
b. Alat pelajaran
Alat pelajaran yang kurang lengkap membuat penyajian pelajaran tidak baik. Terutama pelajaran yang bersifat praktikum, kurangnya alat laboratorium akan banyak menimbulkan kesulitan dalam belajar.
c. Kondisi gedung
Apabila gedung sekolah dekat dengan keramaian, ruangan gelap dan sempit maka situasi belajar akan kurang baik karena sangat mengganggu konsentrasi sehingga kegiatan belajar terhambat. Dalam belajar dibutuhkan konsentrasi penuh sehingga siswa akan dengan mudah dalam memahami pelajaran yang sedang dibahas.
“Ruang kelas yang kotor, berdebu, dan kurang ventilasi dapat mengganggu kesehatan, terutama pernapasan sehingga proses belajar mengajar dapat mengalami gangguan. Demikian juga situasi dalam kelas yang bising, ribut, tidak memungkinkan tercapainya tujuan belajar yang diinginkan”(Thonthowi, 1991 : 1005)
d. Kurikulum
Kurikulum dapat dikatakan kurang baik apabila bahan/materinya terlalu tinggi dan pembagian bahan/materi tidak seimbang.
“Kurikulum yang baik dan seimbang. Kurikulum sekolah yang memenuhi tuntutan masyarakat dikatakan kurikulum itu baik dan seimbang. Kurikulum ini juga harus mampu mengembangkan segala segi kepribadian siswa. Di samping kebutuhan siswa sebagai anggota masyarakat.”(Slameto, 2003 : 93)
e. Waktu sekolah dan disiplin kurang
Waktu yang baik untuk belajar adalah pagi hari, karena kondisi anak masih dalam keadaan yang optimal untuk dapat menerima atau menyerap pelajaran. Apabila sekolah masuk siang atau sore kondisi siswa sudah tidak optimal lagi untuk menyerap pelajaran, karena energi mereka sudah berkurang. Selain itu pelaksanaan disiplin yang kurang juga dapat menjadi penghambat dalam proses belajar mengajar.
Selain faktor-faktor di atas, ada pula faktor-faktor lain yang juga dapat menimbulkan kesulitan belajar yaitu sindrom psikologis berupa learning disability (ketidakmampuan belajar) (syah, 1999 : 166).
Faktor-faktor tersebut adalah:
· Disleksia (dyslexia) yaitu ketidakmampuan belajar membaca.
· Disgrafia (dysgraphia) yaitu ketidakmampuan belajar menulis.
· Diskalkulia (discalculia), yaitu ketidakmampuan belajar matematika.
3) Faktor media masa dan lingkungan sosial
a. Faktor media masa meliputi; bioskop, surat kabar, majalah, radio, dan televisi. Hal-hal tersebut dapat menjadi penghambat dalam belajar apabila terlalu banyak waktu yang digunakan untuk hal-hal tersebut, hingga melupakan belajar (Ahmadi, 1991 : 87).
b. Lingkungan sosial, seperti teman bergaul, tetangga dan aktivitas dalam
masyarakat. Ketiga faktor tersebut sangat berpengaruh terhadap proses belajar anak, misalnya anak terlalu banyak berorganisasi, hal ini dapat menyebabkan belajar anak menjadi terbengkalai.
2.4 Kesulitan-kesulitan Belajar Matematika
Pembelajaran di sekolah tidak selalu berhasil mencapai tujuan, namun ada hal-hal yang sering mengakibatkan kegagalan ataupun menjadi gangguan. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, ada beberapa faktor yang mempengaruhinya, baik itu faktor internal ataupun eksternal dari siswa. Begitu pula dalam belajar matematika, banyak siswa mengalami kegagalan dalam mencapai tujuan belajar. Siswa yang mengalami kegagalan sering mengatakan bahwa matematika itu sulit dipelajari.
Menurut Hamalik (1982: 139), hal-hal yang mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar disebut sebagai kesulitan belajar. Selanjutnya kesulitan belajar diartikan oleh Soleh (1999: 35) sebagai kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar.
Jadi dapat dikatakan kesulitan belajar adalah kendala-kendala yang menyebabkan ketidakberhasilan dalam belajar dan mengakibatkan kegagalan atau setidak-tidaknya menjadikan gangguan dalam kemajuan belajar.
Dalam kenyataan pembelajaran matematika di sekolah masih banyak siswa yang mengalami hambatan dan kendala-kendala dalam menyelesaikan soal, atau dikatakan siswa mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal-soal tersebut. Menurut Soleh (1999: 34) karakteristik matematika, yaitu objeknya yang abstrak, konsep dan prinsipnya berjenjang, dan prosedur pengerjaannya banyak memanipulasi bentuk-bentuk ternyata menimbulkan kesulitan dalam belajar matematika. Karakteristik tersebut merupakan bagian dari objek langsung pembelajaran matematika, sehinggga penyebab kesulitan belajar matematika yang dialami siswa dapat diuraikan menurut objek langsung pelajaran matematika sebagai berikut :
a. Fakta
Fakta merupakan perjanjian atau pemufakatan yang dibuat dalam matematika, misalnya lambang, nama, istilah, serta perjanjian. Kaitannya dengan kesulitan belajar matematika siswa, maka siswa sering mengalami kesulitan disebabkan dari adanya lambang-lambang atau simbol, huruf dan kata (Soleh, 1999: 35).
b. Konsep
Konsep merupakan pengertian abstrak yang memungkinkan seseorang menggolong-golongkan objek atau peristiwa (Mohammad Soleh, 1999: 8). Hubungannya dengan kesulitan belajar matematika, maka siswa sering mengalami kesulitan untuk menangkap konsep dengan benar.
Konsep merupakan pengertian abstrak yang memungkinkan seseorang menggolong-golongkan objek atau peristiwa (Mohammad Soleh, 1999: 8). Hubungannya dengan kesulitan belajar matematika, maka siswa sering mengalami kesulitan untuk menangkap konsep dengan benar.
c. Prinsip
Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu (Soleh, 1999: 8). Berkaitan dengan kesulitan belajar yang dialami siswa dalam belajar matematika, maka sering siswa tidak memahami asal usul suatu prinsip, ia tahu rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapa digunakan.
Prinsip yaitu pernyataan yang menyatakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. Pernyataan itu dapat menyatakan sifat-sifat suatu konsep, atau hukum-hukum atau teorema atau dalil yang berlaku dalam konsep itu (Soleh, 1999: 8). Berkaitan dengan kesulitan belajar yang dialami siswa dalam belajar matematika, maka sering siswa tidak memahami asal usul suatu prinsip, ia tahu rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapa digunakan.
d. Skill
Skill merupakan prosedur mempercepat pengerjaan, namun tetap didasari logika yang benar (Soleh, 1999: 8). Ketidaklancaran menggunakan skill/prosedur terdahulu, berpengaruh pada pemahaman prosedur berikutnya.
Kemudian jika ditinjau pendapat Soleh (1998:39), maka ia membagi penyebab kesulitan belajar yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal-soal matematika sebagai berikut :
Skill merupakan prosedur mempercepat pengerjaan, namun tetap didasari logika yang benar (Soleh, 1999: 8). Ketidaklancaran menggunakan skill/prosedur terdahulu, berpengaruh pada pemahaman prosedur berikutnya.
Kemudian jika ditinjau pendapat Soleh (1998:39), maka ia membagi penyebab kesulitan belajar yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal-soal matematika sebagai berikut :
1) Ketidakmampuan siswa dalam penguasaan konsep secara benar
Ini banyak dialami oleh siswa yang belum sampai ke proses berpikir abstraksi, yaitu masih berada dalam taraf berpikir kongkrit. Siswa baru sampai kepemahaman instrumen (instrumental understanding), yang hanya tahu contoh-contoh tetapi tidak dapat mendeskripsikannya. Siswa belum sampai kepemahaman relasi (relational understanding), yang dapat menjelaskan hubungan antar konsep. Akibatnya siswa semakin mengalami kesulitan dalam memahami konsep-konsep lainnya yang diturunkan dari konsep yang belum dikuasainya tadi. Jalan pintasnya ia memberi pengertian sendiri dari konsep-konsep itu, ini disebut miskonsepsi.
Ini banyak dialami oleh siswa yang belum sampai ke proses berpikir abstraksi, yaitu masih berada dalam taraf berpikir kongkrit. Siswa baru sampai kepemahaman instrumen (instrumental understanding), yang hanya tahu contoh-contoh tetapi tidak dapat mendeskripsikannya. Siswa belum sampai kepemahaman relasi (relational understanding), yang dapat menjelaskan hubungan antar konsep. Akibatnya siswa semakin mengalami kesulitan dalam memahami konsep-konsep lainnya yang diturunkan dari konsep yang belum dikuasainya tadi. Jalan pintasnya ia memberi pengertian sendiri dari konsep-konsep itu, ini disebut miskonsepsi.
2) Ketidakmampuan siswa menangkap arti dari lambang-lambang
Siswa hanya dapat menuliskan dan mengucapkan, sudah tentu siswa tidak dapat menggunakannya. Akibatnya semua kalimat matematika menjadi tak berarti baginya. Jalan pintasnya, memanipulasi sekehendaknya lambang-lambang itu.
Siswa hanya dapat menuliskan dan mengucapkan, sudah tentu siswa tidak dapat menggunakannya. Akibatnya semua kalimat matematika menjadi tak berarti baginya. Jalan pintasnya, memanipulasi sekehendaknya lambang-lambang itu.
3) Ketidakmampuan siswa dalam memahami asal-usulnya suatu prinsip
Siswa tahu apa rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapanya. Akibatnya, siswa tidak tahu di mana atau dalam konteks apa prinsip itu digunakan.
Siswa tahu apa rumusnya dan bagaimana menggunakannya, tetapi tidak tahu mengapanya. Akibatnya, siswa tidak tahu di mana atau dalam konteks apa prinsip itu digunakan.
4) Siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur. Ketidaklancaran menggunakan operasi dan prosedur terdahulu, berpengaruh lagi pada pemahaman prosedur yang berikutnya.
5) Ketidaklengkapan pengetahuan. Ketidaklengkapan pengetahuan ini akan menghambat kemampuannya untuk memecahkan masalah matematika. Sementara itu, pelajaran terus berlanjut secara berjenjang, jadilah matematika suatu misteri.
Dari uraian tersebut di atas dapat diketahui penyebab kesulitan belajar matematika dalam menyelesaikan soal-soal adalah dikarenakan siswa ketidakmampuan siswa dalam menerima objek langsung matematika, sehingga menyebabkan siswa tidak dapat menguasai konsep secara benar, siswa tidak mampu dalam menangkap arti dari lambang-lambang, siswa tidak mampu dalam memahami asal usul suatu prinsip, dan siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur.
2.5 Materi Lingkaran
Definisi dan Persamaan Umum Lingkaran
r |
Q(x0, yo) |
X |
Y |
O(0, 0) |
pusat lingkarannya adalah O(0,0) dan salah satu contoh jari-jarinya adalah r = OQ.
Pada gambar di kanan atas, titik Q(x0,y0) terletak pada lingkaran, sehingga menurut definisi harus dipenuhi:
Jari-jari = OQ = r
Jika titik Q(x0,y0) dijalankan untuk seluruh lingkaran; diperoleh x2 + y2 = r2 yang merupakan persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r.
r |
Q(x0, yo) |
X |
Y |
O(0, 0) |
P(a, b) |
P(a,b) dan jari-jari r adalah (x − a)2 + (y − b)2 = r2. Sumbu yang digunakan adalah sumbu x dan y.
Sekarang perhatikan gambar di bawah ini yang menunjukkan adanya dua
sumbu, yaitu sumbu x dan y serta sumbu x’ dan y’. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa:
1. jika menggunakan sumbu x dan y; maka persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah (x − a)2 + (y − b)2 = r2 seperti ditunjukkan pada pengerjaan soal-soal di atas.
2. jika menggunakan sumbu x’ dan y’; maka persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah (x’)2 + (y’)2 = r2.
r |
Q(x0, yo) |
X |
Y |
O(0, 0) |
P(a, b) |
X’ |
Y’ |
a |
b |
Contoh ini menunjukkan tentang penggunaan rumus translasi. Nampak jelas bahwa sumbu x dan y telah ditranslasi atau digeser dengan translasi , di mana a dan b merupakan absis dan ordinat dari pusat lingkaran yang baru. Hubungannya ditentukan dengan rumus :
Sebagai contoh, jika lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = 4 digeser dengan translasi ; maka jika menggunakan sumbu baru x’ dan y’; maka persamaan adalah (x’)2 + (y’)2 = 22 di mana x’= x - 7 dan y’ = y + 9; sehingga jika menggunakan sumbu lama x dan y; maka persamaan adalah (x - 7)2 + (y + 9)2 = 4. Persamaan terakhir menunjukkan juga suatu persamaan dengan pusat (7, -9) dan jari-jari 2
Bentuk umum persamaan :
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Persamaan lingkaran di atas ekivalen dengan bentuk berikut.
Perhatikan dua bentuk yang ekivalen ini.
Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran dengan pusat P(-A, -B) dan jari-jari . Dengan demikian dapatlah disimpulkan bahwa :
Persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Berpusat di P(-A, -B) dan berjari-jari .
Garis Singgung Terhadap Lingkaran
O |
Q(3, 4) |
bulat. Jika ada bertanya tentang persamaan garis singgung di titik Q(3,4), lalu bagaimana cara menjawabnya?
Tentunya, yang perlu di perhatikan bahwa garis singgung tersebut harus tegak lurus pada OQ.
Dengan demikian, hasil kali gradien garis singgung tersebut (m2) dengan gradien garis OQ (mOQ = m1) harus bernilai −1.
Dengan mudah dapat dihitung bahwa
Karena m1 x m2 = -1; sehingga didapat . Dengan demikian, didapat persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik Q dengan koordinat (3,4) = (xQ,yQ) yang terletak pada lingkaran adalah :
r |
Q(x0, yo) |
X |
Y |
O(0, 0) |
P(a, b) |
X’ |
Y’ |
a |
b |
Pada gambar terlihat jelas juga bahwa lingkaran tersebut melalui titik Q(x1, y1) jika menggunakan sumbu lama dan akan melalui titik Q’(x’1, y’1) jika menggunakan sumbu baru. Hubungan kedua sumbu (lama dan baru) ditentukan oleh rumus:
x’ = x − a dan x1’ = x1 − a
y’ = y − b dan y1’ = y1 − b
Jika ada yang bertanya tentang persamaan garis singgung di titik Q(x1, y1), lalu bagaimana cara menjawabnya?
Tentunya, jika menggunakan sumbu baru x’ dan y’; maka persamaan garis singgung terhadap lingkaran di titik Q(x1’, y1’) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah sangat mudah, yaitu x1’.x’ + y1’.y’ = r2. Dengan demikian, jika digunakan sumbu lama x dan y; maka persamaan garis singgung terhadap lingkaran di titik Q(x1’, y1’) yang terletak pada lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r adalah suatu rumus yang disebut dengan rumus ‘pembagian adil’, yaitu:
(x − a) (x1 − a) + ( y − b)(y1 − b) = r2
Sangat mudah mendapatkan rumusnya bukan? Berkait dengan pembagian adil ini, menyatakan:
“Pada pembagian adil, setiap bentuk yang memuat variabel berderajat dua diubah ke bentuk perkalian dua variabel yang sama. Yang berderajat satu diubah menjadi dua suku yang sama (masing-masing setengahnya).”
Sudah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 merupakan persamaan lingkaran berpusat di P(−A,−B) dan berjari-jari . Pertanyaan selanjutnya adalah, bagaimana menentukan persamaan garis singgung terhadap lingkaran yang melalui titik Q(x1, y1) yang terletak pada lingkaran ?
Bentuk x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat diubah menjadi bentuk
(x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 − C.
Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran pada titik Q(x1, y1) yang terletak pada lingkaran adalah:
(x + A) (x1 + A) + ( y + B)(y1 + B) = A2 + B2 − C
⇔ x1.x + A(x + x1) + A2 + y1.y + B(y + y1) + B2 = A2 + B2 − C
⇔ x1.x + y1.y + A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0
Dengan demikian, persamaan garis singgung terhadap lingkaran yang melalui titik Q(1, 2) yang terletak pada lingkaran x2 + y2 + 4x + 6y − 21 = 0 adalah :
x1.x + y1.y + A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0
Dengan x1 = 1, y1 = 2, A = 2, dan B = 3; sehingga didapat persamaan gars singgungnya adalah:
1.x + 2.y + 2(x + 1) + 3(y + 2) − 21 = 0
⇔ 3x +5y – 13 = 0
r |
Q(x1, y1) |
O(0, 0) |
X |
Y |
R |
P |
Perhatikan bahwa garis OP ⊥ QP, sedangkan garis OR ⊥ QR. Pertanyaan yang dapat diajukan adalah: Bagaimana cara menentukan persamaan garis
singgungnya? Sebagai contoh, tentukan persamaan garis singing lingkaran x2 + y2 = 25 melalui titik
(1, 7).
Ada beberapa cara untuk menjawab soal tersebut, di antaranya:
1. Dapat dibuktikan bahwa titik Q(1, 7) terletak di luar lingkaran. Alasannya, jika koordinat titik Q disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25; akan didapat x2 + y2 = 12 + 72 = 50 > 25.
Dimisalkan garis singgungnya adalah garis yang melalui titik Q(x1, y1) = Q(1, 7) dan bergradien m, sehingga didapat persamaannya adalah:
(y − 7) = m(x − 1)
⇔ y = mx − m + 7
Garis tersebut memotong lingkaran, sehingga didapat.
x2 + y2 = 25
⇔ x2 + (mx − m + 7)2 = 25
⇔ (m2 + 1)x2 + (−2m2 + 14m)x + m2 − 14m + 24 = 0
Pada persamaan terakhir, didapat persamaan kuadrat dengan nilai:
a = m2 + 1
b = −2m2 + 14m
c = m2 − 14m + 24
Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut bernilai 0; sehingga didapat.
D = b2 − 4.a.c = 0
⇔ (−2m2 + 14m)2 − 4(m2 + 1)(m2 − 14m + 24) = 0
⇔ 4m4 − 56m3 + 196m2 − 4m4 + 56m3 − 96m2 − 4m2 + 56m − 96 = 0
⇔ 196m2 − 96m2 − 4m2 − 56m − 96 = 0
⇔ 96m2 + 56m − 96 = 0
⇔ 12m2 + 7m − 12 = 0
(3m + 4)(4m − 3) = 0
m = 3/− 4 atau m = 4/3
Untuk m = 3/− 4 , maka persamaan garis singungnya adalah 4x + 3y − 25 = 0
Untuk m = 4/ 3 , maka persamaan garis singungnya adalah 3x − 4y + 25 = 0
2.
T(x1, y1) |
S3(x3, y3) |
S2(x2, y2) |
x2x + y2y = r2 --- (1)
Karena S3T adalah garis singgung pada pada lingkaran di S3(x3, y3), maka persamaan garis singgung S3T adalah:
x3x + y3y = r2 --- (2)
Selanjutnya, T terletak pada S2T sehingga pada (1) didapat
x2x1 + y2y1 = r2 --- (3)
Begitu juga T terletak pada S3T sehingga pada (2) didapat
x3x1 + y3y1 = r2 --- (4)
Perhatikan persamaan (3). Hal ini menunjukkan bahwa S2(x2, y2) terletak pada x.x1 + y.y1 = r2. Selanjutnya, persamaan (4) menunjukkan bahwa S3(x3, y3) juga pada x.x1 + y.y1 = r2. Karena baik S2(x2, y2) maupun S3(x3, y3) terletak pada x.x1 + y.y1 = r2, sehingga dapat dikatakan bahwa jika titik T(x1, y1) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = r2, maka bentuk x.x1 + y.y1 = r2 yang merupakan persamaan garis kutub atau garis polar S2S3, yaitu garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya.
Sudah ditunjukkan bahwa titik Q(x1, y1) = Q(1, 7) terletak di luar lingkaran. Dengan demikian, persamaan x1x + y1y = r2 merupakan persamaan garis kutub atau garis polar PR, yaitu garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya. Karena koordinat Q adalah (1, 7) maka persamaan garis kutub titik P adalah 1.x + 7.y = 52 ⇔ x + 7y = 25 ⇔ x = 25 − 7y. Jika garis kutub tersebut dipotongkan dengan lingkarannya, akan didapat:
x2 + y2 = 25
⇔ (25 − 7y)2 + y2 = 25
⇔ 49y2 − 350y + 625 + y2 = 25
⇔ y2 − 7y + 12 = 0
⇔ (y − 3)(y − 4) = 0
⇔ y = 3 atau y = 4
Untuk y = 3, maka x = 4. Garis singgungnya harus melalui titik (1, 7) dan (4, 3); sehingga persamaannya adalah:
Untuk y = 4, maka x = − 3. Garis singgungnya harus melalui titik (1, 7) dan (−3, 4); sehingga persamaannya adalah:
⇔ − 4y + 28 = − 3x + 3
⇔ 3x − 4y + 25 = 0
O(0, 0) |
X |
Y |
A |
B |
P(x1, y1) |
Cobalah untuk menyelesaikan soal ini dengan menggunakan
garis kutub AB untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2,3) terhadap lingkaran x2 + y2 −2x − 2y + 1 = 0.
Dengan mencek titik (2,3) terletak terhadap lingkaran x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0. Ternyata, jika koordinat titik (2,3) disubstitusikan terhadap lingkaran
x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0; didapati bahwa 22 + 32 − 2.2 − 2.3 + 1 = 4 > 0; sehingga dapat disimpulkan bahwa titik (2,3) berada di luar lingkaran.
Dengan demikian persamaan garis kutub titik (2,3) adalah:
x1.x + y1.y + A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0
⇔ 2x + 3y – 1(x + 2) – 1(y + 3) + 1 = 0
⇔ 2x + 3y – x – 2 – y – 3 + 1 = 0
⇔ x + 2y – 4 = 0
⇔ y = + x 2
Dengan memotongkan garis kutub di atas terhadap lingkaran; akan didapat:
x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0
⇔ x2 + x + 2 )2− 2x − 2y + 1 = 0
⇔ x2 – 2x +4− 2x + x – 4 + 1 = 0
⇔ 5x2 – 12x + 4 = 0
⇔ (5x – 2)(x – 2) = 0
⇔ (5x – 2) = 0 atau (x – 2) = 0
⇔ x = atau x = 2
Untuk x = didapat y = ; sehingga didapat titik singgung ( 1 ). Persamaan garis singgung yang melalui titik ( 1 ) adalah x1.x + y1.y + A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0; yaitu: 3x − 4y + 6 = 0.
Untuk x = 2 didapat y = 1; sehingga didapat titik singgung (2,1). Persamaan garis singgung yangmelalui titik (2,1) = (x1 + y1) adalah x1.x + y1.y + A(x + x1) + B(y + y1) + C = 0; yaitu: x = 2
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (2,3) terhadap lingkaran
x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 adalah 3x − 4y + 6 = 0 dan x − 2 = 0.
Bagaimana cara mencari persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran
x2 + y2 = r2 ? Pertama dimisalkan garis singgungnya melalui titik Q(0,n) dengan gradien m; sehingga persamaan garis tersebut adalah y = mx + n. Persamaan ini jika disubstitusikan terhadap lingkaran akan didapat:
x2 + y2 = y2 ⇔ x2 + (mx + n)2 = r2
⇔ x2 + (m2x2 + 2mx + n2) = r2 (1 + m2)x2 + 2mx + n2 − r2 = 0
Pada persamaan ini, didapat persamaan kuadrat dengan a = (1 + m2); b = 2m; dan c = n2 − r2.
Agar garis tersebut menyinggung lingkaran; maka disyaratkan D = b2 − 4ac = 0. Didapat:
D = 4m2 − 4(1 + m2)( n2 − r2) = 0 ⇔ n2 = r2(1 + m2 + 1) ⇔ n = ± r
Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah y = mx ± r . Jika digunakan translasi x’ = x − a dan y’ = y − b; akan didapat persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2 adalah:
(y − b) = (x − a) ± r .
BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
jadi dapat disimpulkan bahwa faktor-faktor penyebab kesulitan belajar itu, dapat dikelompokkan sebagai berikut ; faktor internal, yang meliputi faktor fisiologi dan faktor psikologi dan juga disebabkan oleh Faktor eksternal, yang meliputi: faktor orang tua, faktor sekolah dan faktor media masa dan lingkungan sosial. Penyebab kesulitan belajar matematika dalam menyelesaikan soal-soal adalah dikarenakan ketidakmampuan siswa dalam menerima objek langsung matematika, sehingga menyebabkan siswa tidak dapat menguasai konsep secara benar, siswa tidak mampu dalam menangkap arti dari lambang-lambang, siswa tidak mampu dalam memahami asal usul suatu prinsip, dan siswa tidak lancar menggunakan operasi dan prosedur. Dan juga siswa tidak mengulang materi yang telah diajarkan dirumah, sehingga saat mengerjakan soal siswa kesulitan dalam menyelesaikannya
3.2 Saran
Seharusnya siswa lebih sering mengulang pelajaran yang di terima disekolah, di rumah dan juga sering mengerjakan soal-soal latihan, agar terbiasa dan mudah untuk mengerjakann soal-soal matematika. Dan jangan pernah menganggap matematika adalah pelajaran yang sulit, karena dengan kita beranggapan seperti itu maka apapun materi yang disampaikan oleg guru tidak dapat menambah ilmu, karena kita mengganggap itu sulit.
Print this page
0 komentar:
Posting Komentar